Zadanie 4. Rozwiąż nierówność.
a)
\[2- \frac{x + 3}{3} < \frac{2x- 3}{2}\]
\[12 – 2x – 6 < 6x – 9\]
\[ – 8x < – 15\]
\[x > \frac{15}{8}\]
b)
\[\frac{2- x}{2}- \frac{2x- 1}{3} \leq 1- x\]
\[6 – 3x – 4x + 2 \leq 6 – 6x\]
\[ – x \leq – 2\]
\[ x \geq 2\]
c)
\[ \frac{x + 4}{12} + 1 \geq \frac{x}{6} – \frac{3 – x}{4}2\]
\[ x + 4 + 12 \geq 2x – 9 + 3x\]
\[ – 4x \geq = – 25\]
\[ x \leq = \frac{25}{4}\]
d)
\[ \frac{3x + 1}{4}- \frac{6- 2x}{5} > – \frac{1}{20}- \frac{x- 1}{2}\]
\[ 15x + 5 – 24 + 8x > – 1 – 10x + 10\]
\[ 33x > 28\]
\[ x > \frac{28}{33}\]
e)
\[ – \frac{1}{6}x- \frac{2x- 5}{4} \geq 3- \frac{8x- 3}{3}\]
\[ – 2x – 6x + 15 \geq 36 – 32x + 12\]
\[ 24x \geq 33\]
\[ x \geq \frac{11}{8}\]
f)
\[ \frac{x- 1}{3}- \frac{2x- 1}{6} < \frac{1}{2}- \frac{x- 3}{5}\]
\[ 10x – 10 – 10x + 5 < 15 – 6x + 18\]
\[ 6x < 38\]
\[ x < \frac{19}{3}\]
Zadanie 5. Rozwiąż nierówność.
a)
\[ \sqrt{3}x- 6 < 9- 2\sqrt{3}x\]
\[ 3\sqrt{3}x < 15\]
\[x < \frac{5}{\sqrt{3}}\]
\[x < \frac{5\sqrt{3}}{3}\]
b)
\[\sqrt{2}x + 4 < \sqrt{8}x- 8\]
\[\sqrt{2}x – \sqrt{8}x < – 12\]
\[\sqrt{2}x – 2\sqrt{2}x < – 12\]
\[ – \sqrt{2}x < – 12\]
\[ x > \frac{12}{\sqrt{2}}\]
\[ x > 6\sqrt{2}\]
c)
\[ \sqrt{5}x < \frac{5\sqrt{5}}{3}x- 2\frac{2}{3}\]
\[ 3\sqrt{5}x < 5\sqrt{5}x- 8\]
\[ – 2\sqrt{5}x < – 8\]
\[ x > \frac{4}{\sqrt{5}}\]
\[ x > \frac{4\sqrt{5}}{5}\]
Zadanie 6.
a) Jeśli podwoimy liczbę naturalną n, od otrzymanego iloczynu odejmiemy 11, a uzyskaną różnicę pomnożymy przez 3, to otrzymamy liczbę naturalną mniejszą od 21. Podaj możliwe wartości n.
Założenie: n – liczba naturalna
0 ≤ 3(2n − 11) < 21
3(2n − 11) < 21
6n – 33 < 21
6n < 54
n < 9
3(2n − 11) ≥ 0
6n – 33 ≥ 0
6n ≥ 33
n ≥ 5,5
zatem:
5,5 ≤ n < 9
n ∈ {6, 7, 8}
b) Jeśli potroimy całkowitą liczbę ujemną k, do otrzymanego iloczynu dodamy 7, a następnie otrzymaną sumę pomnożymy przez 4, to otrzymamy liczbę większą od 2. Podaj możliwe wartości k.
4(3k + 7) > 2
6k+14>1
6x>-13
\[ k > – 2\frac{1}{6}\]
zatem:
k ∈ {−2, −1}
c) Jeśli od połowy liczby naturalnej m odejmiemy trzecią część liczby m pomniejszonej o 2, to otrzymamy liczbę mniejszą od 3. Podaj możliwe wartości m.
\[ \frac{1}{2}m- \frac{1}{3}(m- 2) < 3\]
\[3m- 2m + 4 < 19\]
\[m < 14\]
zatem:
m ∈ {0, 1, 2,…, 13}
Zadanie 7. Rozwiąż nierówność.
a)
\[3 – x < 4\]
\[- x < 1\]
\[x >- 1\]
b)
\[6x \geq 1 + 8x\]
\[ – 2x \geq 1\]
\[ x \leq – \frac{1}{2}\]
c)
\[ 3 + \frac{1}{2}x > \frac{3}{2}x- 1\]
\[ 3 + \frac{1}{2}x > \frac{3}{2}x- 1\]
\[ – x > – 4\]
\[ x < 4\]
d)
\[ 1- \frac{2}{3}x \leq 8 + \frac{5}{3}x\]
\[- \frac{7}{3}x \leq 7\]
\[x \geq – 3\]
e)
\[\frac{2}{3}x + 1 \geq \frac{1}{2}x- 2\]
\[\frac{1}{6}x \geq – 3\]
\[x \geq – 18\]
f)
\[2,5x- \frac{1}{4} < \frac{3}{4}x + 1\]
\[\frac{10}{4}x < \frac{3}{4}x + 1\frac{1}{4}\]
\[\frac{7}{4}x < \frac{5}{4}\]
\[x < \frac{5}{7}\]
Zadanie 9. Które liczby ze zbioru {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} spełniają nierówność?
a) x − (2x − 3) < 2(x − 1,5)
\[x- 2x + 3 < 2x- 3\]
\[- 3x < – 6\]
\[x > 2\]
Nierówność spełniają liczby: 3,4.
b) 1 − (0,6 − 0,3x) ≤ x − 0,1(4x + 5)
\[ – 0,3x \leq – 0,9\]
\[ x \geq 3\]
Nierówność spełniają liczby: 3,4.
c) 0,3(x − 0,3) − 0,4(0,4x − 3)≥ −0,25
\[ 0,3x- 0,09- 0,16x + 1,2 \geq – 0,25\]
\[ 0,14x \geq – 1,36\]
\[ x \geq – \frac{68}{7}\]
Nierówność spełniają wszystkie liczby.
d) 2(x − 1) − 3(2x + 1) > −x − 1/2 (6 − 4x)
\[ 2x- 2- 6x – 3 > – x- 3 + 2x\]
\[ – 5x > 2\]
\[ x < – \frac{2}{5}\]
Nierówność spełniają liczby: −4, −3, −2, −1.
Zadanie 10. Zapisz w postaci przedziału zbiór rozwiązań nierówności.
a)
\[ \frac{x- 3}{6} \leq \frac{x- 4}{4}\]
\[ 2x- 6 \leq 3x- 12\]
\[ – x \leq – 6\]
\[ x \geq 6\]
zatem
x ∈ [6; ∞)
b)
\[3- \frac{x- 2}{4} > \frac{2x + 1}{2}\]
\[12 – x + 2 > 4x + 2\]
\[ – 5x > 12\]
\[x < 2\frac{2}{5}\]
zatem
\[x \in (- \infty ;2\frac{2}{5})\]
c)
\[\frac{x + 3}{2}- \frac{x + 3}{3} \leq \frac{x + 3}{4}\]
\[6x + 18 – 4x – 12 \leq 3x + 9\]
\[ – x \leq 3\]
\[x \geq – 3\]
zatem
x ∈ [−3; ∞)
