Zadanie 1. Sprawdź, czy liczba p spełnia podane równanie.
a) 20 − 5x = 4 − 13x, p = −2
20 − 5 · (−2) = 4 − 13 · (−2)
20 + 10 = 4 + 26
30 = 30
Odpowiedź: liczba p = -2 spełnia równanie.
b)
\[3x- (1 + 5x) = \frac{1}{2}x + 14,p = – 5\]
\[3 \cdot (- 5)- (1 + 5 \cdot (- 5)) = \frac{1}{2} \cdot (- 5) + 14\]
\[ – 15- ( – 24) = – 2,5 + 14\]
\[ 9 \neq 11,5\]
Odpowiedź: liczba p = -5 nie spełnia równania.
Zadanie 2. Rozwiąż równanie.
a) 2x + 4 = 9
\[2x = 5\]
\[x = \frac{5}{2}\]
b) −3x + 6 = 7
\[ – 3x = 1\]
\[ – 3x = 1\]
\[x = – \frac{1}{3}\]
c) 4x +3 = 2x − 9
\[2x = -12\]
\[x = -6\]
d) x − 6=5x − 2
\[ – 4x = 4\]
\[x = -1\]
Zadanie 3. Rozwiąż równanie.
a)
\[\frac{4x – 1}{3} = 5\]
\[4x – 1 = 15\]
\[4x = 16\]
\[x = 4\]
b)
\[\frac{2 – 3x}{4} = 1\]
\[2 – 3x = 4\]
\[2 – 3x = 4\]
\[ – 3x = 2\]
\[x = – \frac{2}{3}\]
c)
\[\frac{6x + 1}{5} = x\]
\[6x + 1 = 5x\]
\[x = -1\]
d)
\[3- x = \frac{2x- 3}{2}\]
\[6- 2x = 2x- 3\]
\[- 4x = – 9\]
\[x = \frac{9}{4}\]
Zadanie 4. Liczba x jest rozwiązaniem podanego równania. Oblicz sumę liczby przeciwnej i liczby odwrotnej do x.
a)
\[\frac{3x – 5}{2} + 3 = \frac{3x + 5}{6}\]
\[9x – 15 + 18 = 3x + 5\]
\[6x = 2\]
\[x = \frac{1}{3}\]
zatem:
\[- x + \frac{1}{x} = – \frac{1}{3} + \frac{1}{\frac{1}{3}} = – \frac{1}{3} + 3 = 2\frac{2}{3}\]
b)
\[\frac{4x + 1}{5} = 2 – \frac{4 – 8x}{3}\]
\[12x + 3 = 10 – 20+ 40x\]
\[ – 28x = 7\]
\[x = – \frac{1}{4}\]
zatem:
\[- x + \frac{1}{x} = \frac{1}{4} + \frac{1}{ – \frac{1}{4}} = \frac{1}{4} – 4 = – 3\frac{3}{4}\]
c)
\[\frac{x + 4}{2} – \frac{- 2x- 5}{6} = \frac{0,5x + 2,5}{3}\]
\[3x + 12 + 2x + 5 = x + 5\]
\[4x = – 12\]
\[x = – 3\]
zatem:
\[ – x + \frac{1}{x} = 3 + \frac{1}{ – 3} = 2\frac{2}{3}\]
d)
\[ \frac{5- 4x}{4} – \frac{6x- 1}{3} = \frac{4x- 1}{12}\]
\[ 15- 12x – 24x+ 4 = 4x- 1\]
\[- 40x = – 20\]
\[x = \frac{1}{2}\]
zatem:
\[ – x + \frac{1}{x} = – \frac{1}{2} + \frac{1}{\frac{1}{2}} = – \frac{1}{2} + 2 = 1\frac{1}{2}\]
Zadanie 5. Rozwiąż równanie.
a)
\[3(2x- 7)- (7x- 13) = – 10\]
\[6x- 21- 7x + 13 = – 10\]
\[ – x = – 2\]
\[ x = 2\]
b)
\[ −2(−27 − 3x) = −3(2x − 10)\]
\[ 54 + 6x = – 6x+30\]
\[ 12x = – 24\]
\[ x = – 2\]
c)
\[ 6- 2(2x- \frac{1}{2}) = 4x- 2(\frac{3}{4}- 3x)\]
\[ 6 – 4x + 1 = 4x – \frac{3}{2} + 6x\]
\[ – 14x = – \frac{17}{2}\]
\[ x = \frac{17}{28}\]
d)
\[ 3x = x- (1- (x- 3))\]
\[ 3x = x- (1- x + 3)\]
\[ 3x = x- 1 + x – 3\]
\[ x = – 4\]
e)
\[ 5x- (2x + (3- x)) = 11\]
\[ 5x- 2x – 3 + x = 11\]
\[4x = 14\]
\[x = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}\]
f)
\[1- (x- (x- (x- 1))) = 0\]
\[1- (x- (x- x + 1)) = 0\]
\[1- (x- x + x – 1) = 0\]
\[1- x + x – x + 1 = 0\]
\[- x = – 2\]
\[ x = 2\]
Zadanie 6. Sprawdź, czy równanie jest tożsamościowe (spełnione przez każdą liczbę rzeczywistą), czy sprzeczne (niespełnione przez żadną liczbę rzeczywistą).
a)
3x − 6=1 − (7 − 3x)
3x − 6=1 − 7+3x
3x − 3x = −6+6
0=0
Zatem jest to równanie tożsamościowe.
b)
4 − (3 + 2x)=5 − (2x + 6)
4 − 3 − 2x = 5 − 2x − 6
−2x + 2x = −1 − 1
0 = −2
Zatem jest to równanie sprzeczne.
c)
6x − 9=6x − 4
6x − 6x = −4+9
0=5
Zatem jest to równanie sprzeczne.
d)
\[ \frac{1}{2}(8- \frac{1}{2}x) = 4- \frac{1}{4}x\]
\[4- \frac{1}{4}x = 4- \frac{1}{4}x\]
\[0=0\]
Zatem jest to równanie tożsamościowe.
Zadanie 7. Począwszy od liczby x, wykonano kolejno ciąg operacji. Wyznacz liczbę x.
\[((4x + 6) : 3 − 2) · 2 + 9 = 17\]
\[(\frac{4}{3}x + 2- 2) \cdot 2 + 9 = 17\]
\[\frac{4}{3}x \cdot 2 + 9 = 17\]
\[\frac{8}{3}x = 8\]
\[x = 3\]
