Nowa MATeMAtyka 1. Podręcznik. Zakres podstawowy | Strona 60

Zadanie 19. Określ znak iloczynu liczb a = 13/5 − 2,(5) oraz b = √2 − 1,(4).

\[a = \frac{13}{2} – 2,(5) = 2,6 – 2,(5) > 0\]

\[b = \sqrt{2} – 1,(4) < 0\]

Zatem ab < 0.

Zadanie 20. Ile jest dodatnich liczb dwucyfrowych, których reszta z dzielenia przez 6 jest równa 2?

14, 20, 26, 32, 38, 44, 50, 56, 62, 68, 74, 80, 86, 92, 98.

Odpowiedź: jest 15 takich liczb.

Zadanie 21. Ile jest dodatnich liczb trzycyfrowych, które są podzielne przez 3 i przez 4?

Skoro liczby mają być podzielne jednocześnie przez 3 i przez 4, muszą być podzielne przez ich NWW, czyli 12.

Najmniejsza liczba trzycyfrowa podzielna przez 12 to 108.

Największa liczba trzycyfrowa podzielna przez 12 to 996.

Tworzymy ciąg arytmetyczny: 108, 120, …, 996.

Ostatni wyraz (an) = 996

Pierwszy wyraz (a1) = 108

Różnica (r) = 12

Możemy użyć wzoru na liczbę wyrazów w ciągu arytmetycznym: n = (an – a1) / r + 1.

n = (996 – 108) / 12 + 1

n = 888 / 12 + 1

n = 74 + 1

n = 75

Odpowiedź: jest 75 takich liczb.

Zadanie 22. Ile jest dodatnich liczb trzycyfrowych, które są podzielne przez 4 lub przez 5?

Liczby podzielne przez 4: 100,…996. Jest ich 225.
Liczby podzielne przez 5: 100,…995. Jest ich 180.
Liczby podzielne przez 20: 100.…980. Jest ich 45.
Zatem liczb trzycyfrowych podzielnych przez 4 lub przez 5 jest:
225 + 180 − 45 = 360

Odpowiedź: 360

Zadanie 23.Dany jest trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długości 2√27 i 4√12.

Zadanie 23.1 Oblicz obwód tego trójkąta.

Skorzystajmy z twierdzenia pitagorasa:

\[c^2 = \left(2\sqrt{27}\right)^2 \cdot \left(4\sqrt{12}\right)^2 = \left(6\sqrt{3}\right)^2 \cdot \left(8\sqrt{3}\right)^2 = 300\]

\[c = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}\]

\[Obw = 10\sqrt{3} + 6\sqrt{3} + 8\sqrt{3} = 24\sqrt{3}\]

Zadanie 23.2 Kwadrat o boku a ma pole równe polu tego trójkąta. Oblicz a.

\[P_{\bigtriangleup} = 2\sqrt{27} \cdot 4\sqrt{12} \cdot \frac{1}{2} = 8\sqrt{324} \cdot \frac{1}{2} = 72\]

\[a = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\]

Zadanie 24. Cena brutto kurtki zimowej wynosiła 307,50 zł. Na cenę tę składała się cena netto oraz 23% podatku VAT. Cena kurtki została obniżona i po obniżce podatek VAT wynosił 51,75 zł. O ile zmniejszyła się cena netto tej kurtki?

Cena netto:
307,50 : 1,23 = 250 [zł]

Cena netto po obniżce:
51,75 : 0,23 = 225 [zł]

250 − 225 = 25 [zł]

Odpowiedź: Cena netto zmniejszyła się o 25zł.

Zadanie 25. Cenę towaru obniżono o 60%, a następnie podniesiono o p% i w ten sposób otrzymano cenę sprzed obniżki. Wyznacz p.

x – wyjściowa cena,
0,4x – cena po obniżce o 60%

Cena po podwyżce o p%:

\[(1 + \frac{p}{100}) \cdot 0,4x\]

\[x \cdot 0,4(1 + \frac{p}{100}) = x\]

\[1 + \frac{p}{100} = 2,5\]

\[\frac{p}{100} = 1,5\]

\[p = 150\]

Zadanie 26. Dane są liczby x i y. O ile procent liczba x jest większa od liczby y

\[x = \left(\frac{3}{5} – \frac{2}{15}\right):\left(\frac{11}{20} – 0,2\right) = \left(\frac{9}{15} – \frac{2}{15}\right):\left(\frac{11}{20} – \frac{4}{20}\right) = \frac{7}{15}:\frac{7}{20} = \frac{7}{15} \cdot \frac{20}{7} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}\]

\[y = \left(0,5 \cdot 3\right)^{- 2} \cdot 2^3 \cdot 3^{- 1} = \frac{3}{2}^{- 2} \cdot 8 \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{2}^{- 2} \cdot 8 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{9} \cdot 8 \cdot \frac{1}{3} = \frac{32}{27}\]

\[\frac{\frac{4}{3} – \frac{32}{27}}{\frac{32}{27}} = \frac{\frac{4}{27}}{\frac{32}{27}} = \frac{4}{32} = 0,125\]

Odpowiedź: Liczba x jest o 12,5% większa od liczby y.

Zadanie 27. Woda płynąca jednocześnie z kranów A, B i C może napełnić basen w ciągu 4 godzin. Woda płynąca tylko z kranu A napełnia w ciągu godziny 1/10 basenu, a tylko z kranu B – 1/12 basenu. Ile czasu trwałoby napełnianie basenu wodą płynącą tylko z kranu C?

b – objętość wody w basenie

Ilość wlanej wody do basenu w ciągu jednej godziny:

kran A – 1/10b

kran B – 1/12b

kran C – 1/xb

zatem:

\[\frac{b}{10} + \frac{b}{12} + \frac{b}{x} = \frac{b}{4}\]

\[\frac{1}{x} = \frac{15}{60} – \frac{6}{60} – \frac{5}{60} = \frac{4}{60} = \frac{1}{15}\]

x = 15h

Odpowiedź: napełnienie basenu wodą z kranu C zajęłoby 15 godzin.

Zadanie 28. Uzasadnij, że jeśli i a = 45, b = (2 − √5)(1 − 2√5) i c = (−2 + √5)(11 + 2√5) to liczba √a/b + c jest liczbą wymierną.

a = 45

\[b = \left(2- \sqrt{5}\right)\left(1- 2\sqrt{5}\right) = 2 – 4\sqrt{5} – \sqrt{5} + 10 = 12 – 5\sqrt{5}\]

\[c = \left( – 2 + \sqrt{5}\right)\left(11 + 2\sqrt{5}\right) = – 22 – 4\sqrt{5} + 11\sqrt{5} + 10 = – 12 + 7\sqrt{5}\]

\[\frac{\sqrt{a}}{b + c} = \frac{\sqrt{45}}{12 – 5\sqrt{5} + 7\sqrt{5} – 12} = \frac{\sqrt{45}}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{2}\sqrt{9} = \frac{3}{2}\]

Odpowiedź: jest to liczba wymierna.

Poprzednia strona

Następna strona