Zadanie 6. Oblicz wartość wyrażenia 2m − 3n, gdy:
a)
\[ 3^m = 81 \]
\[ 3^m = 3^4\]
\[ m = 4\]
\[ 0,5^n = 0,125\]
\[ n = 3\]
\[ 2m- 3n = 8 – 9 = – 1\]
b)
\[ 6^m = 216 \]
\[ 6^m = 6^3\]
\[ m = 3\]
\[ 0,4^n =-3\]
\[ n = -1\]
\[ 2m- 3n = 6 +3 = 9\]
c)
\[ 0,5^m = 64\]
\[ 0,5^m = 2^-6\]
\[ m = 3\]
\[\left(\frac{2}{3}\right)^n = 3,3375\]
\[n = -3\]
\[ 2m- 3n = 6 – 9 = -3\]
d)
\[ \left( – \frac{1}{3}\right)^m = – 27\]
\[\left( – \frac{1}{3}\right)^m = \left( – \frac{1}{3}\right)^{- 3}\]
\[m = -3\]
\[\left( – \frac{2}{5}\right)^m = – 15,625\]
\[n =-3\]
\[ 2m- 3n = -6 + 9 = 3\]
Zadanie 7. Podaj konieczne założenia i oblicz wartość wyrażenia dla a = 3/4 i b = 8/9.
a)
\[ \frac{\left(ab\right)^{- 1}}{b^{- 2}a^{- 2}} = \frac{b^{- 1}a^{- 1}}{b^{- 2}a^{- 2}} = ab\]
\[ ab = \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} = \frac{2}{3}\]
b)
\[\frac{ab^2(ab)^{- 3}}{\left(a^0b^{- 1}\right)^{- 1}} = \frac{ab^2(ab)^{- 3}}{\left(b^{- 1}\right)^{- 1}} = \frac{ab^2(ab)^{- 3}}{b} = ab(ab)^{- 3} = (ab)^{- 2} = \frac{1}{(ab)^2}\]
\[\frac{1}{(ab)^2} = \frac{1}{(\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9})^2} = \frac{1}{(\frac{2}{3})^2} = \frac{1}{\frac{4}{9}} = \frac{9}{4}\]
c)
\[\frac{\left(a^{- 1}b^2\right)^{- 3}a^{- 2}b^5}{a^2:\left(ab\right)^3} = \frac{\left(a^{- 1}b^2\right)^{- 3}b^5\left(ab\right)^3}{a^4} = \frac{a^3b^{- 6}b^5a^3b^3}{a^4} = \frac{a^6b^2}{a^4} = a^2b^2\]
\[a^2b^2 = (ab)^2 = (\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9})^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}\]
Zadanie 8. Rozwiąż równanie.
a)
\[\frac{x^{12}}{x^9} = x^3 = 64\]
x = 4
b)
\[\frac{x^7}{x^{- 3}} = x^{10} = 1024\]
x = 2 lub x = -2
c)
\[\frac{x^5 \cdot x^4}{\left(x^2\right)^3} = \frac{x^9}{x^6} = x^3 = 27\]
x = 3
d)
\[\frac{x^7 \cdot x^{- 3}}{x^{- 1}} = \frac{x^4}{x^{- 1}} = x^5 = 32\]
x = 2
e)
\[\frac{\left(x^2\right)^{- 3} \cdot x}{\left(x^{- 2}\right)^2} = \frac{x^{- 5}}{x^{- 4}} = x^{- 1} = \frac{2}{7}\]
\[x = \frac{7}{2}\]
f)
\[\frac{x^{- 4} \cdot x^{- 7}}{\left(x^2\right)^{- 4}} = \frac{x^{- 11}}{x^{- 8}} = x^{- 3} = \frac{1}{8}\]
x = 2
Zadanie 10. Uporządkuj liczby a, b, c i d w kolejności rosnącej.
a)
a = 6, b = 4, c = 5, d = 3
d<b<c<a
b)
\[a = 1\frac{1}{2},b = 2\frac{1}{3},c = 2\frac{1}{2},d = – 2\]
d<a<b<c
Zadanie 11. Oblicz. Odpowiedź podaj w notacji wykładniczej.
a)
\[\frac{(2,4 \cdot 10^3) \cdot (7 \cdot 10^{13})}{(6 \cdot 10^6) \cdot (3,5 \cdot 10^4)} = \frac{16,8 \cdot 10^{16}}{21 \cdot 10^{10}} = 0,8 \cdot 10^6 = 8 \cdot 10^5\]
b)
\[\frac{(25 \cdot 10^{- 2}) \cdot (6 \cdot 10^{- 6})}{(1,5 \cdot 10^{11}) \cdot (5 \cdot 10^{- 9})} = \frac{150 \cdot 10^{- 8}}{7,5 \cdot 10^2} = 20 \cdot 10^{- 10} = 2 \cdot 10^{- 9}\]
c)
\[2500000 \cdot 0,0015 = 3750 = 3,75 \cdot 10^3\]
d)
\[420000000:0,003 = 1,4 \cdot 10^{11}\]
Zadanie 12. Oblicz 125% liczby x, gdzie x jest rozwiązaniem podanego równania.
a)
\[9 – \frac{3}{2}x = 6\]
\[18 – 3x = 12\]
\[x = 2\]
\[125\% x = 2 \cdot 1,25 = 2,5\]
b)
\[3x – 7 = \frac{1}{2}x + 8\]
\[6x – 14 = x + 16\]
\[x = 6\]
\[125\% x = 6 \cdot 1,25 = 7,5\]
c)
\[\frac{x – 3}{2} = \frac{1}{6} + \frac{x – 2}{3}\]
\[3x – 9 = 1 + 2x – 4\]
\[x = 6\]
\[125\% x = 6 \cdot 1,25 = 7,5\]
Zadanie 13. Oblicz:
a)
\[6‰ \cdot 400 = 0,006 \cdot 400 = 2,4\]
b)
\[0,5‰ \cdot 64= 0,0005 \cdot 64= 0,032\]
c)
\[20,5‰ \cdot 8= 0,0205 \cdot 8 = 0,164\]
Zadanie 14. Wyznacz liczbę:
a) o 2 ‰ większą od 100
\[100 \cdot 102‰ = 100,2\]
b) o 1,6 ‰ większą od 500.
\[500 \cdot 116‰ = 500,8\]
Zadanie 15. Uzasadnij, że jeśli x, y, z ≠ 0 oraz x + y−1 − z−2 = 0, to:
a)
\[x + y^{- 1} – z^{- 2} = 0\]
\[x = z^{- 2} – y^{- 1}\]
\[x = \frac{1}{z^2} – \frac{1}{y} = \frac{y}{z^2 \cdot y} – \frac{z^2}{z^2 \cdot y} = \frac{y – z^2}{yz^2}\]
b)
Założenie: xz2 ≠ 0
\[x + y^{- 1} – z^{- 2} = 0\]
\[\frac{1}{y} = \frac{1}{z^2} – x\]
\[y = \frac{1}{\frac{1}{z^2} – x} = \frac{1}{(\frac{x – x^2z^2}{xz^2})} = \frac{xz^2}{x – x^2z^2} = \frac{z^2}{1xz^2}\]
c)
Założenie: xy ≠ 0
\[x + y^{- 1} – z^{- 2} = 0\]
\[\frac{1}{z^2} = \frac{1}{y} + x\]
\[z^2 = \frac{1}{(\frac{1}{y} + x)} = \frac{1}{(\frac{1 + xy}{y})} = \frac{y}{1 + xy}\]
Zadanie 16. Uzasadnij, że suma trzech kolejnych liczb naturalnych:
a) jest podzielna przez 3
Rozważmy trzy kolejne liczby naturalne: n, n + 1, n + 2.
n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1)
Zatem jest to liczba podzielna przez 3.
b) parzystych jest podzielna przez 6.
Rozważmy trzy kolejne liczby parzyste: 2n, 2n + 2, 2n + 4.
2n + (2n + 2) + (2n + 4) = 6n + 6 = 6(n + 1)
Zatem jest to liczba podzielna przez 6.
