Nowa MATeMAtyka 1. Podręcznik. Zakres podstawowy | Strona 54
Zadanie 9. O ile procent zmieniło się pole prostokąta, którego:
a) oba boki skrócono o 20%,
Wzór na pole prostokąta to:
P = a ⋅ b = ab
Jeśli boki skrócimy o 20% to
\[ P = \frac{4}{5}a \cdot \frac{4}{5}b = \frac{16}{25}ab\]
Ułóżmy proporcję, aby znaleźć x – czyli jaki procent wcześniejszego pola stanowi nowe pole prostokąta.
\[ ab – 100\% \]
\[ \frac{16}{25}ab – x\% \]
\[ x = 64% \]
Zatem:
\[ 100% – 64% = 36% \]
Odpowiedź: 36%
b) jeden bok skrócono o 10%, a drugi wydłużono o 10%?
Wzór na pole prostokąta to:
P = a ⋅ b = ab
Jeśli jeden bok skrócimy o 10% a drugi wydłużymy o 10% to
\[ P = \frac{9}{10}a \cdot \frac{11}{10}b = \frac{99}{100}ab\]
Ułóżmy proporcję, aby znaleźć x – czyli jaki procent wcześniejszego pola stanowi nowe pole prostokąta.
\[ ab – 100\% \]
\[ \frac{99}{100}ab – x\% \]
\[ x = 99% \]
Zatem:
\[ 100% – 99% = 1% \]
Odpowiedź: 1%
Zadanie 10. Liczba członków pewnego klubu golfowego wzrastała przez ostatnie trzy lata o 20% rocznie. Rok temu należało do niego 216 osób. Ilu członków liczył ten klub trzy lata temu?
x – liczba członków 3 lata temu
1,2x – liczba członków 2 lata temu
zatem:
\[ 1,2 \cdot 1,2x = 1,44x \]
\[ 1,44x – 216 \]
\[ x – 150 \]
Odpowiedź: trzy lata temu klub liczył 150 członków.
Zadanie 11. Wyznacz liczbę o 20% mniejszą od podanej liczby.
a)
\[ \frac{\left(3\frac{1}{4} – 1,5\right) \cdot \left( – 2\frac{1}{8} + \frac{1}{4}\right)}{\left(2,25 – 3\frac{1}{2}\right):\frac{2}{3} + \frac{1}{8}} = \frac{\left(\frac{13}{4} – \frac{3}{2}\right) \cdot \left( – \frac{17}{8} + \frac{1}{4}\right)}{\left(\frac{9}{4} – \frac{7}{2}\right):\frac{2}{3} + \frac{1}{8}} = \frac{\left(\frac{13}{4} – \frac{6}{4}\right) \cdot \left( – \frac{17}{8} + \frac{2}{8}\right)}{\left(\frac{9}{4} – \frac{14}{4}\right):\frac{2}{3} + \frac{1}{8}} = \frac{\frac{7}{4} \cdot \left( – \frac{15}{8}\right)}{\left( – \frac{5}{4}\right) \cdot \frac{3}{2} + \frac{1}{8}} = \frac{\frac{14}{8} \cdot \left( – \frac{15}{8}\right)}{\left( – \frac{15}{8}\right) + \frac{1}{8}} = \frac{ – \frac{210}{64}}{ – \frac{14}{8}} = – \frac{210}{64} \cdot \left( – \frac{8}{14}\right) = \frac{15}{8} \]
\[ 0,8 \cdot \frac{15}{8} = 1\frac{1}{2}\]
b)
\[\frac{\left(1\frac{1}{6} – \frac{7}{9}\right):\left(1\frac{1}{3} – \frac{1}{6}\right)}{\left(\frac{1}{7} – \frac{1}{3}\right) \cdot 0,35 – 1\frac{2}{3}:( – 2\frac{1}{2})} = \frac{\left(\frac{21}{18} – \frac{14}{18}\right):\left(\frac{8}{6} – \frac{1}{6}\right)}{\left(\frac{3}{21} – \frac{7}{21}\right) \cdot 0,35 – \frac{5}{3}:( – \frac{5}{2})} = \frac{\left(\frac{7}{18}\right) \cdot \left(\frac{6}{7}\right)}{\left( – \frac{4}{21}\right) \cdot \frac{7}{20} – \frac{5}{3} \cdot ( – \frac{2}{5})} = \frac{\frac{1}{3}}{\left( – \frac{1}{15}\right) – ( – \frac{2}{3})} = \frac{\frac{1}{3}}{ – \frac{1}{15} + \frac{10}{15}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{9}{15}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{15}{9} = \frac{5}{9}\]
\[ 0,8 \cdot \frac{5}{9} = \frac{4}{9}\]
c)
\[\frac{ – 48:0,6 + 1\frac{2}{3} \cdot 45 – 1\frac{5}{7}:1\frac{1}{14}}{1\frac{1}{3} \cdot ( – 2\frac{2}{5}) + \left(\frac{3}{5} – 5\frac{1}{5}\right) \cdot 0,5} = \frac{ – 80 + 75 – \frac{12}{7} \cdot \frac{14}{15}}{\frac{4}{3} \cdot ( – \frac{12}{5}) + \left(\frac{3}{5} – \frac{26}{5}\right) \cdot 0,5} = \frac{ – 5 – \frac{24}{15}}{ – \frac{16}{5} + \left( – \frac{23}{5}\right) \cdot \frac{1}{2}} = \frac{ – \frac{33}{5}}{ – \frac{16}{5} + \left( – \frac{23}{10}\right)} = \frac{ – \frac{33}{5}}{ – \frac{11}{2}} = \frac{33}{5} \cdot \frac{2}{11} = \frac{6}{5}\]
\[ 0,8 \cdot \frac{6}{5} = \frac{24}{25}\]
d)
\[ \frac{0,3\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{2}{3} – \frac{1}{6}\right):0,75}{\left(\frac{3}{4} – 1\frac{1}{3}\right) \cdot ( – 0,8) + 1,44:2\frac{2}{5}} = \frac{\frac{3}{10}\left(\frac{3}{6} + \frac{2}{6}\right) + \left(\frac{4}{6} – \frac{1}{6}\right):\frac{3}{4}}{\left(\frac{9}{12} – \frac{16}{12}\right) \cdot ( – \frac{4}{5}) + 1,44:\frac{12}{5}} = \frac{\frac{3}{10}\left(\frac{5}{6}\right) + \left(\frac{3}{6}\right) \cdot \frac{4}{3}}{\left(\frac{3}{4} – \frac{4}{3}\right) \cdot ( – \frac{4}{5}) + 1,44 \cdot \frac{5}{12}} = \frac{\frac{1}{4} + \frac{2}{3}}{\left( – \frac{7}{12}\right) \cdot ( – \frac{4}{5}) + \frac{36}{25} \cdot \frac{5}{12}} = \frac{\frac{1}{4} + \frac{2}{3}}{\frac{7}{3} \cdot \frac{1}{5} + \frac{3}{5}} = \frac{\frac{11}{12}}{\frac{7}{15} + \frac{3}{5}} = \frac{\frac{11}{12}}{\frac{16}{15}} = \frac{11}{12} \cdot \frac{15}{16} = \frac{55}{64}\]
\[ 0,8 \cdot \frac{55}{64} = \frac{11}{16}\]
Zadanie 1.
a) Suma trzech kolejnych liczb całkowitych jest o 15 większa od podwojonej największej z nich. Wyznacz te liczby.
Suma kolejnych liczb całkowitych:
\[ n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3\]
Podwojona największa liczba:
\[ 2(n + 2) = 2n + 4\]
Układamy równanie:
\[ 3n + 3 = (2n + 4) + 15\]
\[ n = 16\]
Zatem szukane liczby to 16,17,18.
b) Suma czterech kolejnych liczb parzystych jest o 20 większa od potrojonej największej z nich. Wyznacz te liczby.
Kolejne cztery liczby parzyste to:
n+2
n+4
n+6
Potrojona największa liczba:
\[ 3(n + 6)\]
Układamy równanie:
\[n + (n + 2) + (n + 4) + (n + 6) = 3(n + 6) + 20\]
\[ n = 26\]
Zatem szukane liczby to 26,28,30,32.
Zadanie 2. Liczby x = 0,(3) i y = 1,(3) zapisz jako ułamki zwykłe i oblicz:
a)
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{\frac{1}{3}} + \frac{1}{\frac{4}{3}} = 3 + \frac{3}{4} = 3\frac{3}{4}\]
b)
\[ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = \frac{1}{\frac{1}{9}} + \frac{1}{\frac{16}{9}} = 9 + \frac{9}{16} = 9\frac{9}{16}\]
c)
\[ \frac{1}{x} + y^2 = \frac{1}{\frac{1}{3}} + \left(\frac{4}{3}\right)^2 = 3 + \frac{16}{9} = 4\frac{7}{9}\]
d)
\[ x^2 – \frac{1}{y^2} = (\frac{1}{3})^2 – \frac{1}{(\frac{4}{3})^2} = \frac{1}{9} – \frac{1}{\frac{16}{9}} = \frac{1}{9} – \frac{9}{16} = – \frac{65}{144}\]
Zadanie 3. Oblicz sumę oraz iloczyn liczb x i y.
a)
\[ \sqrt{1\frac{9}{16}} + \sqrt{5\frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{25}{16}} + \sqrt{\frac{49}{9}} = \frac{5}{4} + \frac{7}{3} = \frac{15}{12} + \frac{28}{12} = \frac{43}{12}\]
\[ \sqrt{1\frac{9}{16}} \cdot \sqrt{5\frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{25}{16}} \cdot \sqrt{\frac{49}{9}} = \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{3} = \frac{35}{12}\]
b)
\[ \sqrt{\frac{28}{63}} + \sqrt{\frac{75}{48}} = \sqrt{\frac{4}{9}} + \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{2}{3} + \frac{5}{4} = \frac{8}{12} + \frac{15}{12} = \frac{23}{12}\]
\[ \sqrt{\frac{28}{63}} \cdot \sqrt{\frac{75}{48}} = \sqrt{\frac{4}{9}} \cdot \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}\]
c)
\[ \sqrt[3]{\frac{1}{125}} + \sqrt[3]{3\frac{3}{8}} = \sqrt[3]{\frac{1}{125}} + \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{1}{5} + \frac{3}{2} = \frac{2}{10} + \frac{15}{10} = \frac{17}{10}\]
\[ \sqrt[3]{\frac{1}{125}} \cdot \sqrt[3]{3\frac{3}{8}} = \sqrt[3]{\frac{1}{125}} \cdot \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{10}\]
d)
\[ \sqrt[3]{ – 8} + \sqrt[3]{ – \frac{270}{640}} = \sqrt[3]{ – 8} + \sqrt[3]{ – \frac{27}{64}} = – 2 + ( – \frac{3}{4}) = – 2\frac{3}{4}\]
\[ \sqrt[3]{ – 8} \cdot \sqrt[3]{ – \frac{270}{640}} = \sqrt[3]{ – 8} \cdot \sqrt[3]{ – \frac{27}{64}} = – 2 \cdot ( – \frac{3}{4}) = \frac{6}{4}\]
Zadanie 4. Wyznacz liczbę a.
a)
\[ \sqrt{3} = \sqrt[3]{a}\]
b)
\[ \frac{\sqrt{5}}{2} = \sqrt[3]{a}\]
\[a = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^3 = \frac{5\sqrt{5}}{8}\]
c)
\[\sqrt{1\frac{1}{3}} = \sqrt[4]{a}\]
\[a = \left(\sqrt{1\frac{1}{3}}\right)^4 = \left(\sqrt{\frac{4}{3}}\right)^4 = \frac{16}{9}\]
d)
\[\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt[4]{a}\]
\[a = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^4 = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}\]
e)
\[2\sqrt{3} = \sqrt[4]{a}\]
\[a = \left(2\sqrt{3}\right)^4 = 144\]
f)
\[3\sqrt{2} = \sqrt[4]{a}\]
\[a = \left(3\sqrt{2}\right)^4 = 324\]
Zadanie 5. Oblicz x – 1/x.
a)
\[x = \sqrt[3]{\frac{( – 2)^3}{125}} = \sqrt[3]{\frac{ – 8}{125}} = – \frac{2}{5}\]
\[ – \frac{2}{5} – \frac{1}{ – \frac{2}{5}} = – \frac{2}{5} – ( – \frac{5}{2}) = – \frac{4}{10} + \frac{25}{10} = \frac{21}{10}\]
b)
\[ x = \sqrt[3]{\frac{\left( – 2\right)^6}{\left( – 3\right)^3}} = \sqrt[3]{\frac{64}{ – 27}} = – \frac{4}{3}\]
\[ – \frac{4}{3} – \frac{1}{ – \frac{4}{3}} = – \frac{4}{3} + \frac{3}{4} = – \frac{16}{12} + \frac{9}{12} = – \frac{7}{12}\]
c)
\[ x = \left(\sqrt{169} – \sqrt{196}\right)^2 = \left(13 – 14\right)^2 = 1\]
\[ 1 – \frac{1}{1} = 0\]
d)
\[ x = \left(\left(\sqrt{225} – 10\right)^2\right)^2 = \left(\left(15 – 10\right)^2\right)^2 = \left(5\right)^4 = 625\]
\[ 625 – \frac{1}{625} = 624\frac{624}{625}\]
e)
\[ x = \sqrt{88 + \sqrt{144}} = \sqrt{88 + 12} = \sqrt{100} = 10\]
\[ 10 – \frac{1}{10} = 9\frac{9}{10}\]
f)
\[ x = \sqrt{\sqrt{6,25} – 0,25} = \sqrt{2,5 – 0,25} = \sqrt{2,25} = 1,5x = \sqrt{\sqrt{6,25} – 0,25} = \sqrt{2,5 – 0,25} = \sqrt{2,25} = 1,5\]
\[ 1,5 – \frac{1}{1,5} = \frac{3}{2} – \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} – \frac{2}{3} = \frac{9}{6} – \frac{4}{6} = \frac{5}{6}\]