Nowa MATeMAtyka 1. Podręcznik. Zakres podstawowy | Strona 53
Zadanie 1. Podaj wszystkie naturalne dzielniki liczby:
a) 18
1, 2, 3, 6, 9, 18
b) 38
1, 2, 19, 38
c) 40
1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
d) 58
1, 2, 29, 58
e) 68
1, 2, 4, 17, 34, 68
Zadanie 2. Jaka jest największa liczba trzycyfrowa podzielna przez
a) 5
995
b) 6
996
c) 7
994
d) 15
990
e) 45
990
Zadanie 3. Wyznacz liczbę przeciwną do podanej liczby.
a)
\[ 23:( – 7\frac{2}{3}) – \frac{324}{243} = 23:( – \frac{23}{3}) – \frac{324}{243} = 23 \cdot ( – \frac{3}{23}) – \frac{324}{243} = – 3 – \frac{324}{243} = – \frac{729}{243} – \frac{324}{243} = – \frac{1053}{243} = – 4\frac{1}{3}czyli4\frac{1}{3} \]
b)
\[ ( – 2\frac{3}{5}) \cdot 3\frac{1}{8} + \frac{1}{8} = ( – \frac{13}{5}) \cdot \frac{25}{8} + \frac{1}{8} = – \frac{65}{8} + \frac{1}{8} = – \frac{64}{8} = – 8czyli8\]
c)
\[ ( – 6\frac{2}{3}):( – 7\frac{1}{7}) – \sqrt{\frac{169}{225}} = – \frac{20}{3} \cdot ( – \frac{7}{50}) – \frac{13}{15} = \frac{140}{150} – \frac{130}{150} = \frac{10}{150} = \frac{1}{15}czyli – \frac{1}{15}\]
d)
\[ – 12 \cdot 3\frac{7}{15} + 3\frac{1}{2}:5 = – 12 \cdot \frac{52}{15} + \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{5} = – \frac{624}{15} + \frac{7}{10} = – \frac{1248}{30} + \frac{21}{30} = -\frac{1227}{30} = -40\frac{9}{10} czyli 40\frac{9}{10}\]
e)
\[ 3\frac{3}{4}:\frac{3}{10} – ( – 1\frac{1}{6}):\frac{7}{5} = \frac{15}{4} \cdot \frac{10}{3} – ( – \frac{7}{6}) \cdot \frac{5}{7} = \frac{50}{4} – ( – \frac{5}{6}) = \frac{50}{4} + \frac{5}{6} = \frac{150}{12} + \frac{10}{12} = \frac{160}{12} = 13\frac{1}{3}czyli – 13\frac{1}{3}\]
f)
\[ 4\frac{3}{4}:(\frac{3}{4} – 2\frac{1}{3}) – \frac{1}{2} = \frac{19}{4}:(\frac{3}{4} – \frac{7}{3}) – \frac{1}{2} = \frac{19}{4}:(\frac{9}{12} – \frac{28}{12}) – \frac{1}{2} = \frac{19}{4}:( – \frac{19}{12}) – \frac{1}{2} = \frac{19}{4} \cdot ( – \frac{12}{19}) – \frac{1}{2} = – \frac{12}{4} – \frac{1}{2} = – 3\frac{1}{2}czyli3\frac{1}{2}\]
Zadanie 4. Podaj liczbę przeciwną do liczby x i liczbę odwrotną do liczby y.
a)
\[ x = (3\frac{1}{4} – 1,5) \cdot ( – 2\frac{1}{8} + \frac{1}{4}) = (\frac{13}{4} – \frac{3}{2}) \cdot ( – \frac{17}{8} + \frac{1}{4}) = (\frac{13}{4} – \frac{6}{4}) \cdot ( – \frac{17}{8} + \frac{2}{8}) = \frac{7}{4} \cdot ( – \frac{15}{8}) = – \frac{105}{32} = – 3\frac{9}{32}czyli3\frac{9}{32}\]
\[ y = (2,25 – 3\frac{1}{2}):\frac{2}{3} + \frac{1}{8} = (\frac{9}{4} – \frac{7}{2}):\frac{2}{3} + \frac{1}{8} = (\frac{9}{4} – \frac{14}{4}):\frac{2}{3} + \frac{1}{8} = – \frac{5}{4} \cdot \frac{3}{2} + \frac{1}{8} = – \frac{15}{8} + \frac{1}{8} = – \frac{14}{8} = – \frac{7}{4}czyli – \frac{4}{7}\]
b)
\[ x = (1\frac{1}{6} – \frac{1}{9}):(1\frac{1}{3} – \frac{1}{6}) = (\frac{7}{6} – \frac{1}{9}):(\frac{4}{3} – \frac{1}{6}) = (\frac{21}{18} – \frac{2}{18}):(\frac{8}{6} – \frac{1}{6}) = \frac{19}{18} \cdot \frac{6}{7} = \frac{19}{21}czyli – \frac{19}{21}\]
\[ y = (\frac{1}{7} – \frac{1}{3}) \cdot 0,35 – 1\frac{1}{3}:( – 1\frac{1}{2}) = (\frac{3}{21} – \frac{7}{21}) \cdot 0,35 – \frac{4}{3}:( – \frac{3}{2}) = ( – \frac{4}{21}) \cdot \frac{35}{100} – \frac{4}{3} \cdot ( – \frac{2}{3}) = ( – \frac{4}{21}) \cdot \frac{7}{20} – \frac{4}{3} \cdot ( – \frac{2}{3}) = – \frac{1}{15} + \frac{8}{9} = \frac{37}{45}czyli\frac{45}{37}\]
c)
\[ x = – 48:0,6 + 1\frac{2}{3} \cdot 54 – 1\frac{5}{7}:1\frac{1}{14} = – 80 + \frac{5}{3} \cdot 54 – \frac{12}{7} \cdot \frac{14}{15} = – 80 + 90 – \frac{24}{15} = 10 – 1\frac{9}{15} = 8\frac{6}{15}czyli – 8\frac{6}{15}\]
\[ y = 1\frac{1}{3} \cdot ( – 3\frac{3}{5}) + (\frac{3}{5} – 2\frac{4}{15}) \cdot 0,5 = \frac{4}{3} \cdot ( – \frac{18}{5}) + (\frac{3}{5} – \frac{34}{15}) \cdot \frac{1}{2} = – \frac{24}{5} + (\frac{9}{15} – \frac{34}{15}) \cdot \frac{1}{2} = – \frac{24}{5} + ( – \frac{25}{15}) \cdot \frac{1}{2} = – \frac{24}{5} + ( – \frac{25}{30}) = – \frac{144}{30} – \frac{25}{30} = – \frac{169}{30}czyli – \frac{30}{169}\]
d)
\[ x = 0,3(\frac{1}{2} – \frac{1}{3}) – (\frac{2}{3} – \frac{1}{6}):0,75 = \frac{3}{10}(\frac{3}{6} – \frac{2}{6}) – (\frac{4}{6} – \frac{1}{6}):\frac{3}{4} = \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{6} – \frac{3}{6} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1}{20} – \frac{4}{6} = \frac{3}{60} – \frac{40}{60} = – \frac{37}{60}czyli\frac{37}{60}\]
\[ y = (\frac{3}{4} – 1\frac{1}{3}) \cdot ( – 0,8) + 1,44:2\frac{2}{5} = (\frac{3}{4} – \frac{4}{3}) \cdot ( – \frac{4}{5}) + 1,44:2,4 = (\frac{9}{12} – \frac{16}{12}) \cdot ( – \frac{4}{5}) + 0,6 = ( – \frac{7}{12}) \cdot ( – \frac{4}{5}) + 0,6 = \frac{7}{15} + \frac{3}{5} = \frac{7}{15} + \frac{9}{15} = \frac{16}{15}czyli\frac{15}{16}\]
Zadanie 5. Wśród poniższych liczb wskaż liczbę niewymierną i podaj największą liczbę całkowitą od niej mniejszą.
a)
\[ 4 – \frac{\sqrt{12}}{3} \approx 4 – \frac{3,4641}{3} \approx 4 – 1,547 \approx 2,453\]
Zatem największa liczba całkowita od niej mniejsza to 2.
b)
\[ \sqrt{1\frac{4}{15}} \approx \sqrt{\frac{19}{15}} \approx \sqrt{1,266} \approx 1,125\]
Zatem największa liczba całkowita od niej mniejsza to 1.
c)
\[ \sqrt{81} + \sqrt[3]{81} \approx 9 + 4,23 \approx 13,23\]
Zatem największa liczba całkowita od niej mniejsza to 13.
d)
\[ \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{125} \approx \sqrt[3]{625} \approx 8,54\]
Zatem największa liczba całkowita od niej mniejsza to 8.
Zadanie 6. Wyznacz liczbę odwrotną do podanej liczby.
a)
\[ \sqrt{\frac{3}{5}} \cdot \sqrt{15} = \sqrt{9} = 3czyli\frac{1}{3}\]
b)
\[ \sqrt{5\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{\frac{7}{3}} = \sqrt{\frac{21}{4} \cdot \frac{7}{3}} = \sqrt{\frac{49}{4}} = \frac{7}{2}czyli\frac{2}{7}\]
c)
\[ \sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[3]{40} = \sqrt[3]{1000} = 10czyli\frac{1}{10}\]
d)
\[ \sqrt[3]{75} \cdot \sqrt[3]{45} = \sqrt[3]{3375} = 15czyli\frac{1}{15}\]
e)
\[ \frac{\sqrt{128}}{\sqrt{512}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}czyli2\]
f)
\[\frac{\sqrt{216}}{\sqrt{192}} = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}}czyli\frac{2\sqrt{2}}{3}\]
g)
\[\sqrt{1\frac{9}{16}}:\sqrt{\frac{225}{256}} = \sqrt{\frac{25}{16}} \cdot \sqrt{\frac{256}{225}} = \sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{4}{3}czyli\frac{3}{4}\]
h)
\[\sqrt{1\frac{1}{2}}:\sqrt{1\frac{5}{27}} = \sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \sqrt{\frac{27}{32}} = \sqrt{\frac{81}{64}} = \frac{9}{8}czyli\frac{8}{9}\]
Zadanie 7.
a) Oblicz iloraz sumy liczb x = 2 − √5 oraz y = 4 − √5 i ich różnicy.
\[\frac{2 – \sqrt{5} + 4 – \sqrt{5}}{2 – \sqrt{5} – (4 – \sqrt{5})} = \frac{6 – 2\sqrt{5}}{ – 2} = – 3 + \sqrt{5}\]
b) Oblicz sześcian różnicy liczb x = 1 − 63√3 i y = 0,(9) − 3√3.
\[(1 – 6\sqrt[3]{3} – (1 – \sqrt[3]{3}))^3 = ( – 5\sqrt[3]{3})^3 = – 375\]
c) Oblicz różnicę odwrotności kwadratów liczb x = √2/9 i y = 0,(2) · √3.
\[\left(\frac{9}{\sqrt{2}}\right)^2 – \left(\frac{9}{2\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{81}{2} – \frac{81}{12} = \frac{135}{4} = 33\frac{3}{4}\]
Zadanie 8. Uzasadnij, że podana liczba jest wymierna.
a)
\[\log_36 + \log_31,5 = \log_36 \cdot 1,5 = \log_39 = 2 \in Q\]
b)
\[\log_26 – \log_20,75 = \log_28 = 3 \in Q\]
c)
\[\log 625 + log16 = log10000 = 4 \in Q\]
d)
\[\log 175 – log1\frac{3}{4} = \log 175 – log1,75 = log100 = 2 \in Q\]
e)
\[\log_4\frac{3}{2} + \log_4\frac{1}{3} = \log_4(\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}) = \log_4\frac{1}{2} = – \frac{1}{2} \in Q\]
f)
\[\log_2\sqrt{18} – \log_23 = \log_2(\frac{\sqrt{18}}{3}) = \log_2\frac{3\sqrt{2}}{3} = \log_2\sqrt{2} = \frac{1}{2} \in Q\]