Nowa MATeMAtyka 1. Podręcznik. Zakres podstawowy | Strona 47
Ćwiczenie 7. Oblicz, korzystając ze wzoru na logarytm potęgi.
a)
\[ \log_24^{10} = 10\log_24 = 10 \cdot 2 = 20\]
b)
\[\log_232^4 = 4\log_232 = 4 \cdot 5 = 20\]
c)
\[\log_39^6 = 6\log_39 = 6 \cdot 2 = 12\]
d)
\[\log_381^{- 4} = – 4\log_381 = – 4 \cdot 4 = – 16\]
Zadanie 1. Oblicz.
a) 9
b) 1
c) −5
d)
\[ \frac{1}{5}\]
e)
\[ \frac{3}{2}\]
Zadanie 2. Oblicz.
a) 0
b) 5
c) −1
d)
\[ \frac{3}{2}\]
e)
\[-\frac{3}{2}\]
Zadanie 3. Oblicz.
a)
\[ \log_{\frac{1}{2}}2 = – 1,bo(\frac{1}{2})^{- 1} = 2\]
b)
\[ \log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4} = 2,bo(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}\]
c)
\[ \log_{\frac{1}{3}}\frac{1}{81} = 4,bo(\frac{1}{3})^4 = \frac{1}{81}\]
Zadanie 4. Dla jakiej podstawy logarytmu a podana równość jest prawdziwa?
a) 2
b) 16
c)
\[ \frac{1}{16}\]
Zadanie 5. . Sprawdź prawdziwość równości log2 x+log2 y = log2 xy dla podanych wartości x i y.
a)
\[ \log_24 + \log_216 = 2 + 4 = 6\]
\[\log_24 \cdot 16 = \log_264 = 6\]
\[6= 6\]
b)
\[\log_28 + \log_2\frac{1}{4} = 3 + ( – 2) = 1\]
\[\log_28 \cdot \frac{1}{4} = \log_22 = 1\]
\[1= 1\]
c)
\[\log_2\sqrt{2} + \log_2\sqrt{8} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2\]
\[\log_2\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \log_2\sqrt{16} = 2\]
\[2= 2\]
Zadanie 6. Sprawdź prawdziwość równości log3x − log3y = log3xy dla podanych wartości x i y
a)
\[\log_327 – \log_33 = 3 – 1 = 2\]
\[\log_3\frac{27}{3} = \log_39 = 2\]
\[2= 2\]
b)
\[\log_381 – \log_39 = 4 – 2 = 2\]
\[\log_3\frac{81}{9} = \log_39 = 2\]
\[2= 2\]
c)
\[\log_33 – \log_3\sqrt{3} = 1 – \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\]
\[\log_3\frac{3}{\sqrt{3}} = \log_3\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \log_3\frac{3\sqrt{3}}{3} = \log_3\sqrt{3} = \frac{1}{2}\]
\[\frac{1}{2}= \frac{1}{2}\]
Zadanie 7. Oblicz.
a)
\[\log 2 + log5 = log10 = 1\]
b)
\[\log 8 + log125 = log1000 = 3\]
c)
\[\log 250 + log\frac{2}{5} = log100 = 2\]
d)
\[\log 150 – log15 = log10 = 1\]
e)
\[\log 1250 – log\frac{5}{4} = log1000 = 3\]
f)
\[\log \frac{1}{3} – log3\frac{1}{3} = log\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{10} = log\frac{1}{10} = – 1\]
Zadanie 8. Oblicz.
a)
\[\log_21 + \frac{1}{2}\log_216 = 0 + \frac{1}{2} \cdot 4 = 0 + 2 = 2\]
b)
\[\log_327 – \log_41 = 3 – 0 = 3\]
c)
\[\log_44 – \log_464 = 1 – 3 = – 2\]
d)
\[\log_5125 – \log_5\frac{1}{5} = 3 – ( – 1) = 4\]
e)
\[\log_3\frac{1}{9} – \log_{\frac{1}{3}}3 = – 2 – ( – 1) = – 1\]
f)
\[\log_42 + \log_93 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\]
Zadanie 9. Dla jakiej liczby logarytmowanej b podana równość jest prawdziwa?
a) 32
b) 2
c)
\[b = 27^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9\]
d)
\[b = 7^0 = 1\]
e)
\[b = (\frac{1}{16})^{- \frac{3}{4}} = 16^{\frac{3}{4}} = (\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8\]
f)
\[b = \sqrt{2}^{- 6} = (2^{\frac{1}{2}})^{- 6} = 2^{- 3} = \frac{1}{8}\]
g)
\[b = 10^6 = 1000000\]
h)
\[b = 8^{- 1} = \frac{1}{8}\]