Nowa MATeMAtyka 1. Podręcznik. Zakres podstawowy | Strona 42
Ćwiczenie 1. Oblicz.
a)
\[ 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2\]
b)
\[ 16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4\]
c)
\[81^{\frac{1}{2}} = \sqrt{81} = 9\]
d)
\[81^{\frac{1}{2}} = \sqrt{81} = 9\]
e)
\[27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3\]
f)
\[81^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{81} = 3\]
Ćwiczenie 2. Oblicz.
a)
\[4^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8\]
b)
\[27^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9\]
c)
\[8^{\frac{4}{3}} = (\sqrt[3]{8})^4 = 2^4 = 16\]
d)
\[32^{\frac{3}{5}} = (\sqrt[5]{32})^3 = 2^3 = 8\]
e)
\[81^{1,5} = 81^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{81})^3 = 9^3 = 729\]
f)
\[4^{2,5} = 4^{\frac{5}{2}} = (\sqrt{4})^5 = 2^5 = 32\]
g)
\[125^{- \frac{2}{3}} = \frac{1}{125^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{(\sqrt[3]{125})^2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}\]
h)
\[(\frac{1}{81})^{- \frac{3}{4}} = 81^{\frac{3}{4}} = (\sqrt[4]{81})^3 = 3^3 = 27\]
i)
\[(\frac{1}{4})^{- 2,5} = (\frac{1}{4})^{\frac{5}{2}} = 4^{\frac{5}{2}} = (\sqrt{4})^5 = 2^5 = 32\]
j)
\[(\frac{8}{27})^{- \frac{2}{3}} = (\frac{27}{8})^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{\frac{27}{8}})^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}\]
Ćwiczenie 3. Uzasadnij, że dla dowolnej liczby a > 0, liczby naturalnej n > 1 i liczby całkowitej m zachodzi równość (n√a)m = n√am.
\[\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n]{[(\sqrt[n]{a})^n]^m} = \sqrt[n]{[(\sqrt[n]{a})^m]^n} = (\sqrt[n]{a})^m\]
Zatem do dowolnej liczby a > 0, liczby naturalnej n > 1 i liczby całkowitej m zachodzi równość (n√a)m = n√am.
Ćwiczenie 4. Oblicz.
a)
\[(\sqrt{10})^6 = 1000\]
b)
\[\sqrt{4^{10}} = 4^5 = 1024\]
c)
\[\sqrt[3]{125^2} = (\sqrt[3]{125})^2 = 5^2 = 25\]
d)
\[\sqrt[5]{32^3} = (\sqrt[5]{32})^3 = 2^3 = 8\]
e)
\[(\sqrt[8]{625})^2 = \sqrt[4]{625} = 5\]
f)
\[\sqrt{\sqrt{81}} = \sqrt{9} = 3\]
g)
\[(\sqrt[3]{\sqrt{27}})^2 = (\sqrt[6]{27})^2 = \sqrt[3]{27} = 3\]
h)
\[\sqrt[3]{\sqrt{4^3}} = \sqrt[6]{4^3} = \sqrt[6]{64} = 2\]
i)
\[(\sqrt{\sqrt[3]{49}})^3 = (\sqrt[6]{49})^3 = \sqrt[2]{49} = 7\]
j)
\[\sqrt[3]{\sqrt[4]{16^6}} = \sqrt[3]{2^6} = 2^2 = 4\]