Zadanie 7. Objętość prostopadłościanu o wymiarach x cm × y cm × z cm jest równa objętości pewnego sześcianu. Oblicz długość krawędzi tego sześcianu
a)
Obliczmy objętość prostopadłościanu:
\[V = 4 \cdot 4 \cdot 32 = 512cm^3\]
Obliczmy krawędź sześcianu:
\[a^3 = 512\]
\[a = \sqrt[3]{512} = 8\]
Krawędź sześcianu wynosi 8 cm.
b)
Obliczmy objętość prostopadłościanu:
\[V = 16 \cdot 20 \cdot 25 = 8000cm^3\]
Obliczmy krawędź sześcianu:
\[a^3 = 8000\]
\[a = \sqrt[3]{8000} = 20\]
Krawędź sześcianu wynosi 20 cm.
Zadanie 8. Z trzech sześciennych klocków zbudowano wieżę. Jej objętość jest równa objętości prostopadłościanu o podanych wymiarach. Oblicz wysokość tej wieży.
a)
Obliczmy objętość sześcianu (liczymy objętość prostopadłościanu i dzielimy na 3, ponieważ prostopadłościan składa się z 3 sześcianów):
\[V = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 6 \cdot 16 = 128\]
Teraz obliczmy wysokość jednego sześcianu:
\[a = \sqrt[3]{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 4\sqrt[3]{2}\]
Policzmy wysokość wieży (składa się z 3 wysokości sześcianów):
\[h = 3 \cdot 4\sqrt[3]{2} = 12\sqrt[3]{2}\]
b)
Obliczmy objętość sześcianu (liczymy objętość prostopadłościanu i dzielimy na 3, ponieważ prostopadłościan składa się z 3 sześcianów):
\[V = \frac{1}{3} \cdot 6,25 \cdot 7,5 \cdot 8= 125\]
Teraz obliczmy wysokość jednego sześcianu:
\[ a = \sqrt[3]{125} = 5\]
Policzmy wysokość wieży (składa się z 3 wysokości sześcianów):
\[h = 3 \cdot 5= 15\]
Zadanie 9. Włącz czynnik pod pierwiastek.
a)
\[3\sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{81 \cdot 2} = \sqrt[4]{162}\]
b)
\[5\sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{625 \cdot 4} = \sqrt[4]{2500}\]
c)
\[4\sqrt[5]{2} = \sqrt[5]{1024 \cdot 2} = \sqrt[5]{2048}\]
d)
\[10\sqrt[6]{0,01} = \sqrt[6]{1000000 \cdot 0,01} = \sqrt[6]{10000}\]
Zadanie 10. Oblicz.
a)
\[\sqrt[4]{16} + \sqrt[4]{81} + \sqrt[4]{256} + \sqrt[4]{625} = 2 + 3 + 4 + 5 = 14\]
b)
\[\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8} – \sqrt[4]{27} \cdot \sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{10000} = \sqrt[4]{16} – \sqrt[4]{81} + \sqrt[4]{10000} = 2 – 3 + 10 = 9\]
c)
\[\sqrt[6]{4} \cdot \sqrt[6]{16} – \frac{\sqrt[6]{1000}}{\sqrt[6]{0,001}} – \sqrt[5]{32} = \sqrt[6]{64} – \sqrt[6]{1000000} – \sqrt[5]{32} = 2 – 10 – 2 = – 10\]
d)
\[2\sqrt[4]{\frac{81}{16}} – 3\sqrt[4]{\frac{256}{625}} = 2 \cdot \frac{3}{2} – 3 \cdot \frac{4}{5} = \frac{6}{2} – \frac{12}{5} = \frac{30}{10} – \frac{24}{10} = \frac{6}{10}\]
e)
\[6\sqrt[4]{0,0625} – 3\sqrt[4]{0,0081} = 6 \cdot 0,5 – 3 \cdot 0,3 = 3 – 0,9 = 2,1\]
f)
\[\sqrt[6]{64} – \sqrt[6]{\frac{1}{64}} – \sqrt[3]{\frac{1}{64}} = 2 – \frac{1}{2} – \frac{1}{4} = 1\frac{1}{4}\]
Zadanie 11. Zapisz w postaci liczby wymiernej.
a)
-20
b)
-0,1
c)
\[ – \frac{5}{4}\]
d)
\[ \sqrt[3]{ – 3\frac{3}{8}} = \sqrt[3]{ – \frac{27}{8}} = – \frac{3}{2}\]
Zadanie 12. Oblicz.
a)
\[ 2\sqrt[3]{ – 1} – \sqrt[3]{ – 27} = 2 \cdot ( – 1) – ( – 3) = – 2 + 3 = 1\]
b)
\[ – \sqrt[3]{\frac{ – 64}{125}} + \sqrt[3]{ – 0,125} = \frac{4}{5} + ( – 0,5) = \frac{4}{5} – \frac{1}{2} = \frac{8}{10} – \frac{5}{10} = \frac{3}{10}\]
c)
\[ \sqrt[3]{\frac{ – 8}{125}} – \sqrt[3]{ – 2\frac{10}{27}} = – \frac{2}{5} – \sqrt[3]{ – \frac{64}{27}} = – \frac{2}{5} – ( – \frac{4}{3}) = – \frac{2}{5} + \frac{4}{3} = – \frac{6}{15} + \frac{20}{15} = \frac{14}{15}\]
d)
\[ \frac{\sqrt[3]{ – 9} \cdot \sqrt[3]{ – 9}}{\sqrt[3]{ – 3}} – \frac{\sqrt[3]{24}}{\sqrt[3]{ – 3}} = \frac{\sqrt[3]{ – 81}}{\sqrt[3]{ – 3}} – \frac{\sqrt[3]{24}}{\sqrt[3]{ – 3}} = – \sqrt[3]{27} – ( – \sqrt[3]{8}) = – 3 – ( – 2) = – 3 + 2 = – 1\]
e)
\[ \frac{\sqrt[3]{ – 16}}{5\sqrt[3]{2}} – \frac{\sqrt[3]{ – 72}}{\sqrt[3]{ – 9}} = \frac{\sqrt[3]{ – 16}}{\sqrt[3]{250}} – \sqrt[3]{8} = – \sqrt[3]{0,064} – 2 = – 0,4 – 2 = – 2,4\]
f)
\[ \frac{\sqrt[5]{ – 128}}{\sqrt[5]{ – 4}} + \frac{\sqrt[7]{ – 128}}{\sqrt[9]{ – 1}} = \sqrt[5]{32} + \frac{ – 2}{ – 1} = 2 + 2 = 4\]
Zadanie 13. Uzasadnij, że iloczyn xyz równa się zero.
a)
\[ x = \sqrt[5]{-32} – \sqrt[4]{16} = -2 – 2 = – 4\]
\[ y = \sqrt[7]{1} – 2\sqrt[6]{1} = 1 – 2 = – 1\]
\[ z = \sqrt[10]{1024} + 2\sqrt[9]{ – 1} = 2 – 2 = 0\]
\[ xyz = – 4 \cdot ( – 1) \cdot 0 = 0\]
b)
\[ x = \sqrt[5]{32} – \sqrt[4]{81} = 2 – 3 = – 1\]
\[ y = \sqrt[5]{ – 32} – \sqrt[4]{81} = – 2 – 3 = – 5\]
\[ z = \sqrt[5]{ – 1} + \sqrt[4]{1} = – 1 + 1 = 0\]
\[ xyz = – 1 \cdot ( – 5) \cdot 0 = 0\]
Zadanie 14. Oblicz.
a)
\[ – \sqrt[3]{343} + \sqrt[3]{216} = – 7 + 6 = – 1\]
b)
\[ \sqrt[3]{ – 0,216} + \sqrt[3]{0,064} = – 0,6 + 0,4 = – 0,2\]
c)
\[ \sqrt[3]{0,001} – \sqrt[3]{ – 0,008} = 0,1 + 0,2 = 0,3\]
Zadanie 15. Która spośród liczb a, b, c, d jest najmniejsza, a która – największa?
a)
\[ a = \sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{144} = 12\]
\[ b = \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{32} = \sqrt[3]{64} = 4\]
\[ c = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{1296} = 6\]
\[ d = \sqrt[3]{ – 125} \cdot \sqrt[3]{ – 27} = \sqrt[3]{3375} = 15\]
Najmniejszą liczbą jest liczba b, zaś największą liczba d.
b)
\[a = \sqrt{\frac{27}{2}} \cdot \sqrt{\frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{81}{4}} = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2}\]
\[ b = \frac{\sqrt[3]{625}}{\sqrt[3]{5}} = \sqrt[3]{125} = 5\]
\[ c = \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{16} = 2\]
\[ d = \sqrt[3]{ – \frac{5}{4}} \cdot \sqrt[3]{ – \frac{25}{2}} = \sqrt[3]{\frac{125}{8}} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}\]
Najmniejszą liczbą jest liczba c, zaś największą liczba b.
