Nowa MATeMAtyka 1. Podręcznik. Zakres podstawowy | Strona 22

Zadanie 4. Dane są liczby niewymierne: p = 3 − 2√3, q = 2√3, r = 2√3 − 7, s = 7√3. Wybierz dwie spośród tych liczb tak, aby:

a) ich suma była liczbą wymierną

p + q = 3

lub

p + r = −4

b) ich różnica była liczbą wymierną,

\[ q – r = 2\sqrt{3} – (2\sqrt{3} – 7) = 7\]

c) ich iloczyn był liczbą wymierną,

\[ qs = 2\sqrt{3} \cdot 7\sqrt{3} = 14 \cdot 3 = 42\]

d) ich iloraz był liczbą wymierną.

\[ \frac{s}{q} = \frac{7\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{7}{2}\]

lub

\[ \frac{s}{q} = \frac{2\sqrt{3}}{7\sqrt{3}} = \frac{2}{7}\]

Zadanie 5. Korzystając z podanych przybliżeń, sprawdź, czy nierówność jest prawdziwa (nie używaj kalkulatora).

a) jest

b) nie jest

c) jest

d) nie jest

e) jest

f) nie jest

Zadanie 6. Podaj największą liczbę naturalną n spełniającą nierówność (π ≈ 3,14):

n < 2π + 5

n < 2 ⋅ 3,14 + 5

n < 11,28

n = 11

n < π² − 1

n < 9,85 -1

n < 8,85

n = 8

n² < 10π − 7.

n² < 10⋅ 3,14 − 7

n² < 24,4

n < 5

n = 4

Zadanie 7. Na rysunkach przedstawiono trójkąt równoboczny, kwadrat i sześciokąt foremny. Obwód którego z tych wielokątów wyraża się liczbą wymierną?

1. Skorzystajmy z wzoru na wysokość trójkąta równobocznego:

\[ h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\]

\[ \sqrt{6} = \frac{a\sqrt{3}}{2}\]

\[ 2\sqrt{6} = a\sqrt{3}\]

\[a = 2\sqrt{2}\]

\[Obwód = 3 \cdot 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\]

Zatem obwód trójkąta jest liczbą niewymierną.

2. Obliczmy obwód kwadratu, obliczając długość boku kwadratu z twierdzenia pitagorasa.

\[a^2 + a^2 = (2\sqrt{3})^2\]

\[2a^2 = 4 \cdot 3\]

\[2a^2 = 12\]

\[a^2 = 6\]

\[a = \sqrt{6}\]

\[Obwód = 4\sqrt{6}\]

Zatem obwód kwadratu jest liczbą niewymierną.

3. Obliczmy obwód sześciokąta.

Zauważmy, że w sześciokącie znajduje się 6 trójkątów i odcinek zaznaczony na sześciokącie jest wysokością 2 trójkątów, zatem:

\[2h = 3\sqrt{3}\]

\[2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\]

\[a\sqrt{3} = 3\sqrt{3}\]

\[a = 3\]

\[Obwód = 6 \cdot 3 = 18\]

Zatem obwód sześcianu jest liczbą wymierną.

Zadanie 8. Długość przekątnej prostopadłościanu o wymiarach a × b × c wyraża się wzorem: d = √a2 + b2 + c2 Czy długość przekątnej prostopadłościanu o podanych krawędziach jest liczbą niewymierną?

a) a = 6, b = 8, c = 10

\[d = \sqrt{6^2 + 8^2 + 10^2} = \sqrt{36 + 64 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}\]

Jest to liczba niewymierna.

b) a = 3, b = 4, c = 12

\[d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\]

Nie jest to liczba niewymierna.

Zadanie 9. Wśród liczb

\[0,1, – 3,0,\sqrt{4}, – \frac{12}{3},\sqrt[3]{125}, – \sqrt{3},121\frac{1}{3},2 – \sqrt{2}\]

wskaż liczby:

a) naturalne

\[0,\sqrt{4},\sqrt[3]{125}\]

b) całkowite

\[ – \frac{12}{3}, – 3,0,\sqrt{4},\sqrt[3]{125}\]

c) wymierne

\[ – \frac{12}{3}, – 3,0,0,1,\sqrt{4},\sqrt[3]{125}\]

d) niewymierne

\[ – \sqrt{3},2 – \sqrt{2}\]

Zadanie 10. Podaj liczbę naturalną n spełniającą warunek:

a) n < √35 < n + 1

√25 = 5

√36 = 6

zatem n=5

b) n < 2√3 < n + 1

n < √12 < n + 1

√9= 3

√16= 4

zatem n=3

c) n − 1 < 5√5 < n

n − 1 < √125 < n

√121= 11

√144= 12

zatem n=12

Zadanie 11. Czy długość przekątnej prostokąta o bokach a, b jest liczbą wymierną?

a) a = 5, b = 12

\[ d = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\]

Liczba jest wymierna.

b) a = 6, b = 10

\[ d = \sqrt{6^2 + 10^2} = \sqrt{36 + 100} = \sqrt{136}\]

Liczba nie jest wymierna.

c) a = 7, b = 24

\[ d = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25\]

Liczba jest wymierna.

Poprzednia strona

Następna strona