Nowa MATeMAtyka 1. Podręcznik. Zakres podstawowy | Strona 14
Zadanie 1. Które spośród liczb 2, 3, 4, 6, 9, 12 są dzielnikami podanej liczby?
a) 2, 4
b) 2, 3, 6
c) 3, 9
d) 2, 3, 4, 6, 12
e) 2, 3, 4, 6, 9, 12
Zadanie 2. Ile jest liczb naturalnych mniejszych od 201 i podzielnych przez:
a) 41
b) 26
c) 23
d) 19
Zadanie 3. Przedstaw liczbę n w postaci 5k + r, gdzie k jest liczbą naturalną, natomiast r jest jedną z liczb 0, 1, 2, 3, 4.
a) 5 · 7+4
b) 5 · 12 + 2
c) 5 · 31 + 1
d) 5 · 55 + 0
Zadanie 4. Wyznacz sumę trzech kolejnych liczb nieparzystych, z których pierwszą jest podana liczba, a n jest liczbą naturalną.
a) nie, 46 = 6 · 7+4
b) tak, 74 = 6 · 12 + 2
c) tak, 147 = 6 · 24 + 3
d) nie, 276 = 6 · 46
Zadanie 5. Wyznacz sumę trzech kolejnych liczb nieparzystych, z których pierwszą jest podana liczba, a n jest liczbą naturalną.
a)
a1 = 2n + 1
a2 = 2n + 1 + 2 = 2n + 3
a3 = 2n + 3 + 2 = 2n + 5
a1 + a2 + a3 = 6n + 9
b)
a1 = 2n – 1
a2 = 2n – 1 + 2 = 2n + 1
a3 = 2n + 1 + 2 = 2n + 3
a1 + a2 + a3 = 6n + 3
c)
a1 = 2n – 5
a2 = 2n – 5 + 2 = 2n – 3
a3 = 2n – 3 + 2 = 2n – 1
a1 + a2 + a3 = 6n – 9
d)
a1 = 4n + 3
a2 = 4n + 3 + 2 = 4n + 5
a3 = 4n + 5 + 2 = 4n + 7
a1 + a2 + a3 = 12n + 15
Zadanie 6. Uzasadnij, że suma:
a) trzech kolejnych liczb podzielnych przez 3 jest podzielna przez 9,
b) czterech kolejnych liczb nieparzystych jest podzielna przez 8,
c) pięciu kolejnych liczb parzystych jest podzielna przez 10.
a)
Rozważmy trzy kolejne liczby naturalne podzielne przez 3 czyli: 3n, 3n + 3, 3n + 6, gdzie n ∈ N.
3n + (3n + 3) + (3n + 6) = 9n + 9 = 9(n + 1)
czyli jest to liczba podzielna przez 9.
b)
Rozważmy cztery kolejne liczby nieparzyste czyli: 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, 2n + 7, gdzie n ∈ N.
(2n+ 1)+ (2n+ 3)+ (2n+ 5)+(2n+7) = 8n+16 = 8(n+2)
czyli jest to liczba podzielna przez 8.
c)
Rozważmy pięć kolejnych liczb parzystych czyli: 2n, 2n + 2, 2n + 4, 2n + 6, 2n + 8, gdzie n ∈ N.
2n + (2n + 2) + (2n + 4) + (2n + 6) + (2n + 8) = 10n + 20 = 10(n + 2)
czyli jest to liczba podzielna przez 10.
Zadanie 7. Uzasadnij, że iloczyn:
a) trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez 6,
b) trzech kolejnych liczb parzystych jest podzielny przez 48.
a)
Liczba jest podzielna przez 6, jeżeli jest podzielna jednocześnie przez 2 i 3. Wśród trzech kolejnych liczb naturalnych dokładnie jedna jest podzielna przez 3 i co najmniej jedna jest podzielna przez 2. Dlatego iloczyn tych liczb jest podzielny przez 6
b)
Rozważmy trzy kolejne liczby parzyste: 2n, 2n + 2, 2n + 4, gdzie n jest liczbą naturalną.
2n(2n + 2)(2n + 4) = 8 · n(n + 1)(n + 2)
Wyrażenie n(n+1)(n+2) jest iloczynem trzech kolejnych liczb naturalnych. Iloczyn ten jest podzielny przez 6 (punkt a)
zatem wyrażenie jest podzielne przez 8 · 6 = 48
Zadanie 8. Ile dzielników ma liczba n?
a) 6 dzielników, są to : 1, 2, 3, 4, 6, 12
b) 4 dzielniki, są to: 1, 3, 9, 27
c) 2 dzielniki, są to: 1, 29
d) 9 dzielników, są to: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 16, 36
e) 12 dzielników, są to: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
Zadanie 9. Wykonaj dzielenie z resztą.
a) 9 reszta 3
b) 25 reszta 0
c) 18 reszta 1
d) 184 reszta 2
e) 540 reszta 1
Zadanie 10. Oblicz NWD(x, y) oraz NWW(x, y).
a)
NWD(24, 40) = 8,
NWW(24, 40) = 120
b)
NWD(36, 45) = 9,
NWW(36, 45) = 180
c)
NWD(48, 72) = 24,
NWW(48, 72) = 144
d)
NWD(54, 96) = 6,
NWW(54, 96) = 864
e)
NWD(112, 144) = 16,
NWW(112, 144) = 1008
f )
NWD(105, 150) = 15,
NWW(105, 150) = 1050